Paradoja de los números interesantes

Es conocida, para aquellos que la conozcan -yo no supe de ésta hasta que no me puse a investigar sobre la paradoja para publicarla en el blog-, la anécdota -la tenéis completa en la parte inferior de esta entrada- de la charla entre Hardy y Ramanujan, en la que el primero le manifestara al segundo que el número 1729 era muy aburrido, lo que dio lugar a la inmediata reacción de Ramanujan quien afirmó que dicho número es muy interesante puesto que se trata del número más pequeño que puede expresarse como la suma de dos cubos (positivos) de dos maneras diferentes. La “demostración” que sigue encubre en realidad una paradoja.

numerosinteresantes

Mitad matemática, mitad humor, la paradoja de los números interesantes habla sobre el supuesto y subjetivo carácter de interesante de los números naturales.

No de algunos, sino de todos.

La denominación de interesante viene desde algo que todos sabemos y hasta sufrimos constantemente, que es la búsqueda de propiedades únicas o características especiales a determinados números. Y si alguien está pensando en qué un número determinado puede no ser interesante, quien sostenga que los números naturales son siempre interesantes dirá que no, que ese número seleccionado por quien quiere contradecirlo es interesante porque, por ejemplo, es el número que corresponde al año en el que se sucedió un hecho o que es producto de la sumatoria de otros números naturales (también importantes). La demostración real de esta afirmación se da a través de la división de los números naturales y aburridos. De esta forma, siempre habrá un número que será el más pequeño de los aburridos, por lo tanto pasará a ser interesante y por lo tanto habrá que moverlo de grupo. Si esto se sigue dando, nos encontraremos con que el grupo de los aburridos terminará vacío, dando a entender que todos los números son interesantes. Lo paradójico es que esta reducción al absurdo de entidades objetivas tiene un componente subjetivo muy fuerte y ambiguo, el hecho mismo de ser interesantes. Ahora, si al número se le ha puesto el adjetivo de interesante subjetivamente y la paradoja refiere a los números interesantes, ¿qué tan errada está la aseveración principal?

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La “demostración” precedente, que tiene la apariencia formal de una reductio ad absurdum (reducción al absurdo), no puede en realidad calificarse de tal por cuanto utiliza a tal fin la ambigua propiedad “ser interesante”. En efecto, tal calificativo no tiene una entidad matemática suficientemente precisa y objetiva para poder ser utilizada como un criterio para “particionar” un conjunto, contrariamente a lo que podría hacer utilizando por ejemplo la propiedad “ser un número par”, con la cual se pueden establecer clara e indistintamente una partición en pares y no pares (impares), o como con la propiedad “ser un número primo”. En efecto, esto también puede expresarse diciendo que la relación de pertenencia de un elemento a un conjunto debe ser siempre perfectamente discernible, es decir, que la afirmación “x pertenece al conjunto M” debe poder calificarse sea como verdadera sea como falsa sin ambigüedad alguna.

Hardy_Ramanujan

El 1729 es el llamado número de Hardy-Ramanujan es el número natural más pequeño que puede ser expresado como la suma de dos cubos positivos de dos formas diferentes:

El Número de Hardy-Ramanujan tiene su origen en la siguiente historia que tiene como protagonistas a Godfrey Harold Hardy, y Ramanujan: “Una vez, en un taxi (en inglés taxicab) de Londres, a Hardy le llamó la atención su número, 1729. Debió de estar pensando en ello porque entró en la habitación del hospital en donde estaba Ramanujan tumbado en la cama y, con un “hola” seco, expresó su desilusión acerca de este número. Era, según él, un número aburrido, agregando que esperaba que no fuese un mal presagio. No, Hardy, dijo Ramanujan, es un número muy interesante. Es el número más pequeño expresable como la suma de dos cubos positivos de dos formas diferentes”.

Hardy, a continuación, le preguntó si conocía la respuesta para las cuartas potencias. Ramanujan contestó, tras pensarlo un momento, que no podía ver la respuesta, pero que pensaba que debía ser un número extremadamente grande.

De una generalización de esta propiedad surgen los llamados números Taxicab.

Ramanujan1

 

 

 

Paradoja del Ahorcamiento Sorpresa

 

soga

Medioevo, una prisión en la fosa de un castillo, un condenado a muerte espera a que le digan en qué día de la agenda del verdugo dejará este mundo. Quien lo condena le indica que el ahorcamiento será una madrugada de la próxima semana, pero que no le dirá cuándo, buscando que sea sorpresa hasta que el verdugo le toque la puerta de su encierro. Escuchada esta frase, el prisionero se siente aliviado, pues sabe que se escapará de la muerte.

¿Qué? ¿Además de condenado estaba loco?

No, al contrario. El prisionero razona que si lo que se le ha dicho es cierto y será colgado por sorpresa, el día elegido no será el viernes. Ya que si para el momento en que sea jueves no fue colgado, el ahorcamiento del viernes no sería una sorpresa. Lo mismo sucede con el jueves, pues si el viernes ya se eliminó y el miércoles de noche no es colgado, el jueves ya sería una obviedad. Lo mismo utiliza para eliminar el miércoles, el martes y el lunes, yéndose a dormir tranquilo con la idea fija de que no será ahorcado. La semana siguiente, el miércoles a la mañana, el prisionero fue ahorcado por sorpresa.

¿Hace falta que te explique por qué lo que dijo el Rey se cumplió?

También es conocida esta paradoja como la del examen sorpresa.

El gato de Schrödinger – paradoja

La paradoja de Schrödinger es un experimento, dicen que ¿imaginario?, pensado por el físico Erwin Schrödinger para exponer una de las consecuencias de la mecánica cuántica.

Schrödinger plantea un sistema que se encuentra formado por una caja cerrada y opaca que contiene un gato en su interior, una botella de gas venenoso y un dispositivo, que contiene una partícula radiactiva con una probabilidad del 50% de desintegrarse en un tiempo dado, de manera que si la partícula se desintegra, el veneno se libera y el gato muere.

Al terminar el tiempo establecido, hay una probabilidad del 50% de que el dispositivo se haya activado y el gato esté muerto, y la misma probabilidad de que el dispositivo no se haya activado y el gato esté vivo. Según los principios de la mecánica cuántica, la descripción correcta del sistema en ese momento (su función de onda) será el resultado de la superposición de los estados “vivo” y “muerto” (a su vez descritos por su función de onda). Sin embargo, una vez abramos la caja para comprobar el estado del gato, éste estará vivo o muerto.

Ahí está la paradoja.

En la descripción clásica del sistema el gato estará vivo o muerto antes de que abramos la caja y comprobemos su estado, mientras que en la mecánica cuántica el sistema se encuentra en una superposición de los estados posibles hasta que interviene el observador (ver también Heisenberg). El paso de una superposición de estados a un estado definido se produce como consecuencia del proceso de medida, y no puede predecirse el estado final del sistema: sólo la probabilidad de obtener cada resultado. La naturaleza del proceso sigue siendo una incógnita, que ha dado lugar a distintas interpretaciones.

-Interpretación de Copenhague.

En el momento en que abramos la caja, la sola acción de observar modifica el estado del sistema tal que ahora observamos un gato vivo o un gato muerto. Este colapso de la función de onda es inevitable en un proceso de medida, y depende de la propiedad observada.

– Interpretación de los muchos mundos

Formulada por Hugh Everett en 1957. El gato está vivo y muerto a la vez pero en ramas diferentes del universo: ambas son reales, pero incapaces de interactuar entre sí debido a la decoherencia cuántica.

– Interpretación del colapso objetivo

La superposición de estados se destruye aunque no se produzca observación, difiriendo las teorías en que magnitud física es la que provoca la destrucción (tiempo, gravitación, temperatura, términos no lineales en el operador correspondiente…). Esa destrucción es lo que evita las ramas que aparecen en la teoría de los multi universos. La palabra “objetivo” procede de que en esta interpretación tanto la función de onda como el colapso de la misma son “reales”, en el sentido ontológico.

– Interpretación relacional

Rechaza la interpretación objetiva del sistema, y propone en cambio que los estados del sistema son estados de relación entre el observador y el sistema. Distintos observadores, por tanto, describirán el mismo sistema mediante distintas funciones de onda. Antes de abrir la caja, el gato tiene información sobre el estado del dispositivo, pero el experimentador no tiene esa información sobre lo que ha ocurrido en la caja. Así, para el gato, la función de onda del aparato ya ha colapsado, mientras que para el experimentador el contenido de la caja está aún en un estado de superposición. Solamente cuando la caja se abre, y ambos observadores tienen la misma información sobre lo que ha pasado, las dos descripciones del sistema colapsan en el mismo resultado.

– Interpretación asambleística o estadística

Interpreta la función de onda como una combinación estadística de múltiples sistemas idénticos. La superposición es una abstracción matemática que describe este conjunto de sistemas idénticos; pero cuando observamos un sistema individual, el resultado es uno de los estados posibles.

La paradoja de la fuerza irresistible o imparable

¿Qué pasa cuando una fuerza irresistible se encuentra con un objeto inamovible?

Esto es lo que cuestiona esta paradoja que tiene una fuerte intrusión en el ámbito de la lógica. La idea no es pensarla como una realidad posible, sino como un ejercicio.

Conocida como la paradoja de una fuerza irresistible o imparable, esta postulación viene a enfrentarse con la idea actual de la ciencia que indica que no existe ningún tipo de fuerza que sea completamente irresistible, además de aseverar teóricamente que no existen objetos inamovibles. Esto se produce porque un objeto inamovible igualmente tendría que tener una inercia con valor igual a infinito, por lo tanto debería estar constituido por una masa infinita. Si tenemos en cuenta un Universo finito, tal energía para la fuerza imparable no puede existir.
Esta paradoja ha dado alguno casos curiosos en su aplicación: en el cine, en los mangas, etc

Algunos ejemplos (extraidos de wikipedia):

– En Saint Seiya el Santo del Dragón, Shyriu, durante los combates del torneo galáctico enfrentó a Seiya de Pegaso diciendo durante la lucha que poseía el “puño más fuerte” y el “escudo más sólido”. Al encontrarse prácticamente perdido, Seiya recuerda la historia china sobre la lanza y el escudo y utiliza esto para obligar al Santo del Dragón a golpear su propio puño contra su escudo inutilizando de esta manera sus armas y consiguiendo ganar el combate.

– En la película The Dark Knight, tanto Batman como el Joker se niegan a matarse el uno al otro a pesar de ser enemigos mortales. El Joker se ríe de la ironía describiéndolo como “Lo que sucede cuando una fuerza indetenible choca contra un objeto inamovible”. Para el Joker, el caos que el desata es una fuerza imparable, y la moral de Batman el objeto inamovible.

– Hay también una referencia a esta paradoja en el World of Warcraft, en donde es posible conseguir La Fuerza Imparable (una maza) y El Objeto Inamovible (un escudo) Cuando estos objetos son usados en la lucha “jugador contra jugador” estos objetos no tienen ninguna característica especial contradictoria, así que esta paradoja no es tratada directamente en el juego.

Pero esto ya es otra historia… y muy friki, por cierto.

La paradoja de la Flecha

Discípulo directo de Parménides, Zenón de Elea dice en la paradoja de la flecha que si lanzábamos una flecha y tomábamos en cuenta sus millones de posiciones sobre el vuelo como si fueran instantes, nos daríamos cuenta que la flecha no realiza movimiento alguno, pues en todo momento tomado como instante está en posición específica, lo que anula el movimiento en sí mismo.

¿Es el movimiento un estado concreto o sólo es el resultado de una comparación de estados?

La paradoja de la flecha
Esta paradoja implica el lanzamiento de una flecha. Zenón afirmaba que, en cada instante, la flecha está en una posición del espacio determinada. Si el periodo de tiempo considerado es lo suficientemente pequeño, la flecha no alcanzará a moverse, por lo que está en el reposo durante ese instante. Ahora bien, el mismo razonamiento puede aplicarse a los restantes infinitos de periodos de tiempo, en los que la flecha también estará en reposo por el mismo motivo. De esta forma Zenón demostraba que el movimiento de una flecha es imposible, a pesar de que miles de viudas cuyos maridos habían muerto de un flechazo en el campo de batalla le insistieran con lo contrario.

La paradoja puede evitarse de varias maneras. Una de ellas es simplemente pensar que cada instante en que la flecha se percibe como “en reposo” es un algo relativo. No se puede juzgar, observando sólo una “foto” de un objeto si está o no en reposo. En lugar de ello, es necesario compararlo con los instantes adyacentes, previos y posteriores. Al ver la “película”, podemos determinar que la flecha está en distintas posiciones en cada instante, por lo que -efectivamente- se está moviendo. Otra solución es recurrir a la definición de velocidad, cuya esencia es el cambio. El movimiento es la sucesión de los distintos espacios ocupados por el cuerpo (la flecha), a lo largo de la sucesión de los distintos momentos que componen el total del tiempo considerado. Así, si asumimos que el concepto velocidad, es decir, movimiento, puede definirse racionalmente, simultáneamente estamos admitiendo que el movimiento, racionalmente, en teoría, existe.

En el mundo real, las flechas se mueven sin problemas.

XXV siglos más tarde, nos parece hasta ridículo lo que proponía Zenón. Sin embargo, si pensamos en el estado en que se encontraba la ciencia cuatro o cinco siglos A.C. los razonamientos de este hombre cobran real magnitud. Debe haber sido sumamente difícil para Zenón reconciliar la (aparente) certeza detrás de sus razonamientos con las evidencias del mundo real, donde la tortuga era invariablemente la perdedora de la carrera, y las flechas llegaban a su blanco.

La paradoja Sorites

Esta paradoja pone en juego todo lo que normalmente decimos basándonos en el sentido común  y en la presunción egocéntrica de la universalidad de un conocimiento determinado.

El autor se cree que fue Eubulides de Mileto, un filósofo griego también conocido por sus paradojas. Una de las más interesantes es la que formula lo siguiente: ¿En qué momento un montón de arena deja de serlo? Esta pregunta nos lleva siempre a realizar deducciones sobre qué constituye un montón de arena:

– es así que se dice que dos o tres granos de arena no forman un montón

– que un millón sí lo constituyen

– que si «n» granos de arenas no forman un montón si les agregamos un grano de arena más tampoco lo formarán

– que si «n» granos de arena son un montón, quitándole un grano seguirá siéndolo

¿Cuál es la medida adecuada? ¿Cuál es el número interesante que va a inaugurar la existencia o no de un montón de arena? Las respuestas más acertadas podrían ser las siguientes:

– O bien no hay tal cosa como montones, o bien 1 grano de arena es un montón.

Sorites significa montón, pila, conjunto en griego. De ahí su nombre.

La paradoja del cretense (mentiroso)

Epiménides fue un legendario poeta filósofo del siglo VI a.C. Es famosa su paradoja, una paradoja sobre la falsedad, o no, de cierto tipo de proposiciones, conocida también como paradoja del mentiroso, de la cual no existe una única versión. Otra se atribuye a Eubúlides de Mileto -o de Megara- coetáneo de Aristóteles.

De hecho, según donde se mire, nos encontraremos la misma paradoja atribuida a uno o a otro indistintamente.

La paradoja es la siguiente:

Epímetes, el cretense, dice:

-Todos los cretenses son mentirosos. Yo soy cretense.

Lo que está diciendo Epímetes es entonces, ¿verdad o mentira?

Antes de empezar, ¿qué es un mentiroso? Definimos mentiroso como alguien que sólo hace afirmaciones que son falsas. Esta definición es común en el estudio de la lógica, y es posible obtener esta paradoja con menos ambigüedad si se formula como

Todos los cretenses son personas cuyas afirmaciones son siempre falsas.

Siguiendo esta definición, a primera vista parece que la afirmación se autocontradice, ya que Epiménides está afirmando que miente, lo que no es realmente cierto, ya que a pesar de que la afirmación no puede ser cierta, sí podría ser falsa.

 

Si suponemos que es cierta, Epiménides sí está afirmando que, como cualquier cretense, está mintiendo, y por lo tanto la afirmación sería falsa, y alcanzaría una autocontradicción. Pero si suponemos que es falsa, no alcanzamos una contradicción, ya que si la afirmación Todos los cretenses mienten es falsa, significa que hay al menos un cretense, no necesariamente Epiménides, que dice la verdad. Por lo tanto, es perfectamente posible que la afirmación sea falsa, y la afirmación no es una verdadera paradoja.

 

Es una falsa paradoja, pues en realidad comete falacia en su primera proposición: todos los cretenses son mentirosos. Las proposiciones deben basarse en hechos demostrados, y esto no es un hecho probado, sino una indeterminación  -que hay que justificar como verdadera-.

Debemos empezar por un hecho probado. Y sí sabemos que Epiménides es cretense (hecho probado) y dice serlo (hecho probado), por lo que debemos empezar el razonamiento por este lado.
Epiménides es cretense

Epiménides dice que lo es

Epiménides dice la verdad.

 

Y de ahí se obtiene:
Todos los cretenses siempre mienten

Epiménides es cretense y en ocasiones dice la verdad

Luego es falso afirmar que todos los cretenses siempre mienten
Para terminar planteando correctamente:

No todos los cretenses siempre mienten (hecho probado)

Epiménides dice que sí (proposición)

Epiménides miente (conclusión, hecho probado)
De ahí se puede volver a plantear la paradoja:

“Si Epiménides miente, es un mentiroso”. Pero si aceptamos primeramente la definición de mentiroso como alguien que siempre miente, el planteamiento lógico desbarata una vez más la paradoja
Epiménides, como cretense, afirma ser un mentiroso: alguien que siempre miente.

Sabemos que Epiménides ha dicho la verdad en alguna ocasión

Luego es falso que Epiménides siempre mienta

Y dado que es cretense, es falso que todos los cretenses siempre mientan.

 

En conclusión, esta falsa paradoja se basa en dos falacias:

1-      dar por probada una proposición sin estarlo

2-      una falacia léxica que hace confundir los conceptos “mentiroso” y “alguien que siempre dice mentiras”.
La conclusión no se pude inferir de las proposiciones. No sabemos si todos los cretenses son mentirosos ocasionales. Sólo sabemos que Epiménides sí lo es.

 

¿Cuánto?

Supón que tú y yo tenemos la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto tengo que darte para que tengas 10 euros más que yo?

Nota: Este y otros pasatiempos lógicos puedes encontrar en el libro de Raymond Smullyan: ¿La dama y el tigre?

La solución a este acertijo aparecerá dentro de un par de días en esta misma entrada.

31/mayo/2012 – Solución: Tengo que darte 5€. Si yo tengo 10 €  y tú otros 10€, y te doy 5, yo tendré 5 menos y tú 5 más. Habrá, entonces, 10€ de diferencia.

Aquiles y la tortuga

Una  paradoja de  Zenón de Elea, discípulo de Parménides, que niega la posibilidad del movimiento y hablando sobre el infinito, es la de Aquiles y la tortuga.

En la paradoja de Aquiles y la tortuga,  ésta última se encuentra con alguien más rápido que ella. El gran Aquiles, que le dará una ventaja de X metros en una carrera pedestre. Se da la señal de salida y empezamos a suponer que cada corredor empieza a correr a cierta velocidad constante (uno muy rápido y otro muy lento). Después de un determinado lapso de tiempo, Aquiles ha recorrido X metros, llevándolo al punto de partida de la tortuga. Durante este tiempo, la tortuga ha avanzado una distancia mucho más corta, por ejemplo, X-50 metros. Aquiles deberá recorrer durante un tiempo para alcanzar el punto en donde estaba la tortuga cuando el partió desde sus X metros. Para ese entonces, la tortuga ya habrá avanzado un poco más, demostrando que cada vez que Aquiles alcanza el estado anterior de la tortuga, esta ya se habrá movido. Por lo tanto, Aquiles nunca puede superar a la tortuga.

Si vas a decir que no, que no es posible,  que la experiencia no puede dar la razón a Zenón, tienes razón. Pero esto es una paradoja, pues está enunciada desde la matemática y no desde la física. Reglas matemáticas a situaciones no matemáticas pueden tener resultados extraños, como que se te escape la tortuga.

En la obra Filosofía para bufones de Pedro González Calero podéis encontrar anécdotas sobre esta paradoja -su lectura se recomienda en el apartado de Lecturas filosóficas de este blog. En la edición de Ariel, 2009, páginas 18 a 20.

La paradoja del asno de Buridán

Se refiere a una situación paradójica en la que un asno que siempre tenía opciones bien diferenciables para realizar su elección, un día es colocado exactamente entre dos montones de heno de igual tamaño y calidad. La duda lo llevará a morirse de hambre ya que no podrá tomar ninguna decisión racional sobre cuál de los dos montones será su comida. Si bien ha sido nombrada en homenaje al filósofo francés Jean Buridan, la paradoja no fue originada por Buridán originalmente, sino por Aristóteles, que ejemplifica el pensamiento ante una decisión con opciones equilibradas o demasiado balanceadas, con un hombre que permanece inmóvil con tanta sed como hambre entre dos mesas. Una con bebidas y otra con comida. La paradoja es que la supuesta igualdad de condiciones puede condenar a elegir cualquier opción, pero la idea principal no era esa, sino la de elegir siempre la mejor opción. Habiendo dos opciones igual de “mejores” o “peores”, el panorama se complica. Se entra en ciclos de razonamiento complejos y el final es el que todos conocemos: la indecisión.

Para más información podeis consultar:

http://es.wikipedia.org/wiki/Asno_de_Burid%C3%A1n

 

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